正交基底意思

在數學中，特別是線性代數中，正交基底（Orthogonal Basis）是指一個向量空間的一組基底，其中任意兩個向量都是正交的。也就是說，對於正交基底中的任意兩個向量 ( \mathbf{v}_i ) 和 ( \mathbf{v}_j ) （( i \neq j )），它們的點積 ( \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j = 0 )。

正交基底的一個重要特性是，如果一個向量空間具有一個正交基底，那麼這個向量空間上的內積可以完全由這個基底來表出。這意味著任何向量都可以唯一地表示為正交基底中向量的線性組合，而且這個組合中的係數可以通過計算這些向量與給定向量的內積來得到。

在歐幾里得空間中，例如 ( \mathbb{R}^n )，正交基底通常由一組相互正交的單位向量組成。這樣的基底在許多數學和工程問題中非常有用，因為它可以簡化向量運算，並且與許多最佳化問題和數值方法密切相關。