點積是什麼意思

點積（dot product），又稱為內積、內點積或標量積，是線性代數中的一個操作，用於兩個向量的運算。點積的結果是一個標量值，而不是另一個向量。點積的記號通常是兩個向量的點號連接，例如：

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ]

點積的計算方法是取兩個向量的分量分別乘積後求和，即：

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i ]

其中，( \mathbf{a} ) 和 ( \mathbf{b} ) 是任意兩個向量，( n ) 是向量的維度，( a_i ) 和 ( b_i ) 分別是 ( \mathbf{a} ) 和 ( \mathbf{b} ) 的第 ( i ) 個分量。

點積有幾個重要的性質：

1. 正定性：如果兩個向量方向相同，則點積為正；如果方向相反，則點積為負；如果相互垂直，則點積為零。
2. 分配律：對於任何向量 ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} )，有 ( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )。
3. 結合律：對於任何向量 ( \mathbf{a}, \mathbf{b} )，有 ( (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} )。
4. 對偶性：對於任何向量 ( \mathbf{a}, \mathbf{b} )，有 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} )。

點積在數學和物理學中都有廣泛應用，例如在物理學的力學中，力向量的點積可以用來計算功或力對時間的積分（動量）。在數學中，點積是歐幾里得空間的一個基本性質，它賦予了向量空間一個內積空間的結構。