點積意思
點積（Dot product），又稱為內積、數積或標量積，是幾何學和線性代數中的一種運算，用於兩個向量的乘積。在幾何學中，點積結果是一個數值，它表示兩個向量的長度乘以它們之間的夾角餘弦。在線性代數中，點積被定義為兩個向量元素的乘積的總和。
點積的符號表示通常使用一個點（·），例如，向量 (\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)) 和 (\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)) 的點積 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) 被定義為 [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n. ]
點積具有以下幾個重要的性質：
- 交換律：(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})。
- 分配律：(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c})。
- 對偶性：(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a})。
- 三角不等式：(|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)，其中 (|\mathbf{a}|) 和 (|\mathbf{b}|) 分別是向量 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 的長度。
在歐幾里得空間中，點積還可以用來計算兩個向量的夾角，或者在三維空間中用來計算兩個向量的投影和投影的長度。點積在物理學、工程學和數學的其他分支中都有廣泛應用。