週期延拓是什麼意思

週期延拓（Periodic Extension）是一個數學概念，特別是在傅立葉分析、數論和幾何等領域中很常見。當一個函數在一個有限的區間上定義時，我們可以透過重複函數在這個區間上的值來延拓它，使得它在整個數軸上定義。這種延拓保證了函數在數軸上的任何位置都具有週期性，週期取決於區間的長度。

例如，考慮一個定義在區間[0,1)上的函數f(x)。我們可以將這個函數延拓為一個定義在整個實數軸上的函數，方法是設定在[1,2)上的值為f(x-1)，在[2,3)上的值為f(x-2)，以此類推。這樣延拓後的函數在數軸上任何位置都具有週期性，週期為1。

在傅立葉分析中，週期延拓用於將非週期函數轉換為週期函數，以便應用傅立葉級數或傅立葉變換進行分析。在數論中，週期延拓用於將函數延拓到整數平面上，以滿足某些性質，例如狄利克雷函數。在幾何中，週期延拓可以用來定義複幾何中的全純函數。