逆元是什麼意思

在數學中，特別是在群論和模n同餘的背景下，逆元的概念非常重要。在一個群中，每個元素都有一個逆元，如果存在的話。

在整數加法群（所有整數的集合，帶有加法運算）中，每一個整數n都有其加法逆元-n。這意味著當你將n和-n相加時，你得到0，即群的單位元。例如，5的加法逆元是-5，因為5 + (-5) = 0。
在乘法群（所有非零實數的集合，帶有乘法運算）中，每一個非零實數x都有其乘法逆元1/x。這意味著當你將x和1/x相乘時，你得到1，即群的單位元。例如，5的乘法逆元是1/5，因為5 * (1/5) = 1。
在模n同餘的背景下，一個整數a在模n意義下的逆元是指一個整數b，使得a b ≡ 1 (mod n)。這意味著a和b的乘積減去n的餘數等於1。並不是所有的整數a在模n意義下都有逆元，只有當a和n互質時，a在模n意義下才有一個逆元。例如，在模5同餘中，3的逆元是4，因為3 4 ≡ 12 ≡ 1 (mod 5)。

逆元的概念在代數、數論和計算機科學（特別是在加密系統中）中都有著廣泛的應用。