費馬小定理是什麼意思

費馬小定理（Fermat's Little Theorem）是數論中的一個基本定理，由法國數學家皮埃爾·德·費馬提出。這個定理描述了整數p為素數時，a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 的性質，其中a是任意一個與p互質的整數。當p不是素數時，這個性質不一定成立。

費馬小定理的完整版本是：

如果p是一個素數，並且a是一個與p互質的整數（即gcd(a, p) = 1），那麼a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

這個定理有幾個推論：

如果a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，那麼a與p互質。這是由於如果a和p有因數關係，那麼a^(p-1) ≡ 0 (mod p)，這與定理的結果矛盾。
如果a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，那麼a^(p-2) ≡ -1 (mod p)。這是由於a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 可以寫成 a^(p-2) a ≡ 1 a (mod p)，即 a^(p-2) ≡ a (mod p)。因為a與p互質，所以a模p的逆元存在，即存在一個整數b使得a b ≡ 1 (mod p)。將這個式子代入上面的式子，得到 a^(p-2) ≡ a b (mod p)，即 a^(p-2) ≡ -1 (mod p)。

費馬小定理在數論和計算機科學中都有廣泛應用，尤其是在模運算和模反元素的計算中。它也是更複雜的數論結果的基礎，如中國剩餘定理和拉格朗日定理。