累積概率意思

累積機率（Cumulative Probability），又稱為總體機率或累積分佈函數，是指在機率論中，一個隨機變量X小於或等於某一特定值x的機率。累積機率函數通常用大寫字母F來表示，即F(x)，它是由機率分佈函數（機率密度函數對於連續型隨機變量）累積而成的。

對於離散型隨機變量，累積機率可以通過將每個特定值的機率加起來得到，即累積機率是所有小於或等於x的值的機率之和。例如，如果X是一個離散型隨機變量，取值為0, 1, 2, 3，並且機率分別為P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.3, P(X=2)=0.4, P(X=3)=0.1，那麼累積機率F(x)可以表示為：

F(x) = P(X ≤ x) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=x)

對於連續型隨機變量，累積機率是機率密度函數的積分，即累積機率是所有小於或等於x的值的機率之和。例如，如果X是一個連續型隨機變量，其機率密度函數為f(x)，那麼累積機率F(x)可以表示為：

F(x) = P(X ≤ x) = ∫[f(t)dt] from -∞ to x

累積機率函數有幾個重要的性質：

  1. 非負性：對於所有的x，F(x) ≥ 0。
  2. 右連續性：當x變化的時候，F(x)的值會平滑變化，即F(x+) ≥ F(x)。
  3. 機率質量函數的關係：對於離散型隨機變量，機率質量函數（PMF）p(x)等於累積機率函數的微分，即p(x) = F(x) - F(x-1)。
  4. 分位點：累積機率函數可以用來找到分位點，例如，如果F(q) = 0.95，那麼q是第95百分位數的分位點。

累積機率函數在統計學和機器學習中非常有用，可以用來解釋隨機變量取值的機率，並用於數據的描述和模型的評估。