無窮小是什麼意思

在數學中，無窮小（infinitesimal）是一個非常小的量，它的大小可以忽略不計，通常在討論極限、微積分和分析學時出現。無窮小並不是一個固定的數值，而是一個相對於特定問題或上下文而言的量。

在經典微積分中，無窮小通常被定義為一個函式值，當自變數的值接近某個特定點時，這個函式值的絕對值比任意給定的正數都要小。也就是說，無論給定的精度要求有多高，無窮小的量都可以滿足這個精度要求。

例如，考慮函式 f(x) = 1/x，當 x 接近 0 時，f(x) 的值變得非常大，但它的變化率（導數） f'(x) = -1/x^2 在 x = 0 附近是無窮小的。這意味著 f'(x) 相對於 f(x) 來說是非常小的量，因此在計算函式 f(x) 的積分時，可以忽略 f'(x) 的值。

在現代數學中，無窮小通常在非標準分析中進行嚴格定義。非標準分析是一個擴展實數系統的理論，它引入了無窮小和無窮大的概念，使得對極限和微積分的處理更加直觀和自然。在非標準分析中，無窮小是一個特定的標準實數的非標準等價類，這個實數比任何標準實數都要小。