原根是什麼意思

在數論中，特別是在研究有限域和分圓函數時，「原根」是一個重要的概念。一個原根（primitive root或generator）是指一個數字，它能夠生成一個給定有限域的所有非零元素。

更正式地說，如果G是一個有限群，a是G中的一個元素，如果對於G中的所有元素x，存在一個整數k使得x = a^k，其中^表示乘方運算，k是正整數，那麼a就被稱為G的一個原根。

在有限域中，特別是在模某個素數p的同餘類群中，一個原根a的一個重要特性是它的order（即能夠生成所有非零元素的乘方的最小正整數n，使得a^n = 1）等於p - 1。

例如，在模7的同餘類群中，2是一個原根，因為2的乘方遍歷了所有的非零同餘類：

2^1 ≡ 2 (mod 7) 2^2 ≡ 4 (mod 7) 2^3 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7) 2^4 ≡ 2^2 ≡ 4 (mod 7) 2^5 ≡ 2^3 ≡ 1 (mod 7) ... 2^(p-2) ≡ 2^(7-2) ≡ 2^5 ≡ 1 (mod 7)

這裡，p - 1 = 7 - 1 = 6，所以2的order是6，它覆蓋了所有的非零同餘類。

在分圓函數的研究中，原根用於生成單位根，這是在複數域上模一個高次不可約多項式的同餘類。原根的概念在代數數論、代數幾何和數字信號處理中也有應用。