分點是什麼意思

分點（dot product）又稱為點積、內積或數積，是線性代數中的一個運算，用於兩個向量的乘法。在幾何上，分點運算結果是一個數字，它表示兩個向量在相同方向上的成分的乘積，減去它們在相反方向上的成分的乘積。在代數上，分點運算可以表示為兩個向量的分量之間的乘積的和。

分點運算的公式可以表示為：

[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i ]

其中，(\mathbf{u}) 和 (\mathbf{v}) 是任意兩個向量，(u_i) 和 (v_i) 分別是向量 (\mathbf{u}) 和 (\mathbf{v}) 的第 (i) 個分量，(n) 是向量的維度。

分點運算有一些重要的性質：

1. 分配律：(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w})
2. 對偶性：(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u})
3. 三角不等式：(|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| |\mathbf{v}|)

在物理學和工程學中，分點運算有許多應用，例如在力學中用於計算力的作用效果，在電磁學中用於計算電場和磁場的相互作用。