Inner product意思
在數學中，特別是線性代數中，「inner product」（內積）是一個概念，它定義了向量空間中的向量之間的乘法。內積的結果是一個標量，它衡量了兩個向量之間的相似程度。
在歐幾里得空間中，例如實數平面或三維空間中，內積通常被定義為兩個向量的點積，即兩個向量的對應分量逐項乘積後求和。例如，在三維空間中，向量 (\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) 和 (\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) 的內積（點積）是 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)。
內積具有以下性質：
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線性性：對於向量 (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) 和實數 (r)，有 (\langle \mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle = \langle \mathbf{a}, \mathbf{c} \rangle + \langle \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle) 和 (\langle r \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = r \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle)，其中 (\langle \cdot, \cdot \rangle) 表示內積。
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對稱性：(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \langle \mathbf{b}, \mathbf{a} \rangle)。
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正定性：(\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle \geq 0)，且當 (\mathbf{a} = \mathbf{0}) 時，(\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle = 0)。
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三角不等式：(|\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)，其中 (|\mathbf{a}|) 和 (|\mathbf{b}|) 分別是向量 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 的長度。
內積在幾何上可以用來計算向量的長度，即 (|\mathbf{a}| = \sqrt{\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle})，也可以用來確定兩個向量是否正交，即 (\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = 0) 若且唯若 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 正交。
內積的概念在功能分析、量子力學、信號處理和工程學等領域中都有廣泛的套用。在功能分析中，內積是定義希爾伯特空間的關鍵概念。在量子力學中，內積用於定義波函式的疊加和正交性。在信號處理中，內積用於設計濾波器和分析信號。