Exact differential意思

在數學中，特別是微積分和偏微分方程中，「exact differential」是指一種特殊的微分形式，它可以通過對函式求導得到。更具體地，如果兩個函式F(x, y)和G(x, y)的偏導數滿足以下條件：

∂F/∂y = ∂G/∂x

那麼F(x, y) - G(x, y)的微分d(F - G)是一個精確微分，因為它可以通過對某個函式求導得到。這個函式通常是F(x, y) + h(x)，其中h(x)是一個任意函式。

例如，考慮函式F(x, y) = x^2 + y^2和G(x, y) = 2xy。它們的偏導數分別為：

∂F/∂y = 2y ∂G/∂x = 2y

因為這兩個偏導數相等，所以F(x, y) - G(x, y)的微分是一個精確微分。事實上，我們可以通過找到函式h(x)來驗證這一點：

F(x, y) + h(x) = x^2 + y^2 + h(x) G(x, y) = 2xy

微分d(F - G)為：

d(F - G) = d(x^2 + y^2 - 2xy) = 2x dx + 2y dy

我們可以通過選擇h(x) = x^3來消除dx項：

d(F + x^3) = (2x + 3x^2) dx + 2y dy = 2y dy

這表明d(F - G)確實可以通過對F + x^3求導得到，因此它是精確微分。