線性代數單範化意思

在線性代數中，"單範化"（Singular Value Decomposition, SVD）是一種將矩陣分解為三個特殊矩陣乘積的方法。這個分解可以用來解決許多線性代數問題，例如求解線性方程組、最小二乘法迴歸、矩陣近似、矩陣特徵值和特徵向量的計算等。

SVD分解的公式如下：

矩陣 ( A ) 的 SVD 分解為： [ A = U \Sigma V^T ]

其中：

• ( U ) 和 ( V ) 是正交矩陣（即 ( U^T U = V^T V = I )，其中 ( I ) 是單位矩陣）。
• ( \Sigma ) 是一個對角矩陣，對角線上的元素稱為"範值"（Singular Values）。

在這個分解中，( U ) 的列向量是 ( A ) 的左奇異向量，( V ) 的列向量是 ( A ) 的右奇異向量，而 ( \Sigma ) 的對角線元素是 ( A ) 的範值。

SVD 分解有許多應用，例如：

• 數據壓縮：通過保留最大的幾個範值，可以近似地還原原始數據。
• 圖像壓縮（如JPEG）和音頻壓縮。
• 機器學習和數據挖掘中的特徵提取。
• 數值分析中的線性系統求解。

單範化的過程通常涉及計算矩陣的奇異值和奇異向量，這是一種數值計算的方法，因為直接計算SVD分解通常不是顯式的。在實際應用中，人們通常使用專門的算法（如庫爾特·戈特弗里德·雅可比（Krylov subspace）方法或直接方法）來計算SVD分解。