結合律是什麼意思

結合律（associativity）是數學中一個重要的概念，它描述了運算的結合順序不影響運算結果的性質。換句話說，對於一個具有結合律的運算，無論你如何結合運算對象，其結果都是相同的。

結合律的正式定義如下：

給定一個集合 S 以及一個二元運算 ∗（通常表示為乘法符號，但也可以是其他運算），如果對於 S 中的任意三個元素 a、b 和 c，有

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

那麼這個運算 ∗ 對於集合 S 是結合律的。

在自然數的加法和乘法中，加法不具有結合律，因為改變結合順序會改變結果，例如：

(1 + 2) + 3 ≠ 1 + (2 + 3)

但是乘法具有結合律，因為：

(1 × 2) × 3 = 1 × (2 × 3)

在集合論中，結合律通常用來描述集合的運算，例如並集運算（|）和交集運算（&）。並集運算具有結合律，因為：

(A | B) | C = A | (B | C)

而交集運算不具有結合律，因為：

(A & B) & C ≠ A & (B & C)

結合律是一個基本的概念，它出現在許多數學分支中，包括代數、分析、拓撲學等。結合律是構成群、環和域等代數結構的重要公理之一。