範數意思

在數學中，特別是在線性代數和數值分析中，範數（Norm）是一個數量，它被用來衡量一個數組（通常是向量）的大小或長度。範數可以用來測量一個向量空間中向量的大小，或者測量一個矩陣的條件數，以及作為優化問題中的目標函數。

範數的正式定義如下：

對於一個向量空間 V 中的元素 v，一個範數 ||·|| 是一個從 V 到實數域的函數，它滿足以下條件：

1. 非負性（Non-negativity）：對於 V 中的所有元素 v，有 ||v|| ≥ 0，且當且僅當 v = 0（向量 v 是零向量）時，有 ||v|| = 0。
2. 直線性（Positive homogeneity）：對於 V 中的所有元素 v 和所有實數 c，有 ||cv|| = |c| ||v||。
3. 三角不等式（Triangle inequality）：對於 V 中的所有元素 u 和 v，有 ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||。

一個向量空間 V 上的範數 ||·|| 也經常被稱為 V 上的「度量」或「大小」。向量 v 的範數通常被記為 ||v||，而不寫出範數的具體函數名稱。

在實數空間中，最常見的範數是歐幾里得範數，也稱為 L2 範數，它對於向量 v = (v1, v2, ..., vn) 的定義為：

||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)

在數值分析中，還有一些其他的範數，例如：

• L1 範數：||v||_1 = |v1| + |v2| + ... + |vn|
• L∞ 範數：||v||_∞ = max{|v1|, |v2|, ..., |vn|}
• 切比雪夫範數：||v||_∞ = max{|v1 - v2|, |v2 - v3|, ..., |vn - 1|}

在線性代數中，範數還可以用來定義向量空間的內積，因為對於一個向量空間 V，如果存在一個函數 <·, ·> 滿足線性性、對偶性、正定性，那麼這個函數可以唯一地決定一個範數，使得 ||v|| = <v, v>^(1/2)。

範數在數學的許多分支中都有著廣泛的應用，尤其是在數值分析、機器學習、優化、信號處理和圖論中。