等價無窮小是什麼意思

在數學中，特別是在微積分中，兩個函數被稱為「等價無窮小」，當且僅當它們在無窮小量階上的行為完全相同。更正式地說，如果函數 f(x) 和 g(x) 滿足對於任意給定的正數ε，存在正數δ，使得對於所有 x 滿足 0 < |x| < δ，都有 |f(x)/g(x) - 1| < ε，那麼 f(x) 和 g(x) 被稱為等價無窮小。

這意味著，當 x 趨近於 0 時，函數 f(x) 的行為與函數 g(x) 的行為幾乎完全相同，除了在 x 為 0 的點附近可能存在微小的差異。這種差異被ε所控制，ε可以任意小，因此這種等價關係表明了兩個函數在無窮小量階上的行為幾乎完全相同。

等價無窮小的概念在微積分中非常重要，因為它允許我們在某些情況下進行等價替換，即在分母中含有無窮小量的分式中，如果分母中的無窮小量與分子中的無窮小量是等價無窮小的，那麼我們可以將分母中的無窮小量替換為分子中的無窮小量，而不會改變分式的值。這種技巧在計算導數和積分時非常有用。