稠密子集是什麼意思

在數學中，特別是在集合論和拓撲學中，稠密子集（dense subset）是指這樣一個子集：它在其包含的空間中的每一點都具有稠密性質。具體來說，一個集合 S 是另一個集合 T 的稠密子集，當且僅當 S 的每一點都是 T 的內點，並且對於 T 中任意兩個點之間的任意開區間，都存在 S 中的點落入該開區間內。

在實數線上，例如，有理數集就是實數集的稠密子集，因為有理數可以在實數線上的任何兩個數之間插入（比如 1 和 2 之間可以插入 ( \frac{1}{2} )）。在歐幾里得空間中，一個集合的稠密子集是指那些填滿空間的點，使得在空間中的任何點都可以用這個集合中的點來接近。

稠密子集的概念在分析學中尤其重要，因為它涉及到連續性和可積性等概念。例如，在傅立葉級數的理論中，周期函數的稠密子集可以用來確定函數的可積性。