矩陣和向量相乘是什麼意思

在數學和計算機科學中，特別是在線性代數的領域，向量（vector）和矩陣（matrix）的乘法是一個重要的操作。向量通常被定義為一個數組，它有方向和大小，可以用來表示幾何對象、數據點或任何其他需要多個數字來描述的實體。矩陣則是一個數字的矩陣，它由數字組成，這些數字排列在稱為「元素」的矩形中。

向量與矩陣的乘法並不是簡單的元素對應相乘，而是有特定的規則。主要有兩種乘法：向量點積（inner product）和向量叉積（cross product），但這兩種運算通常只適用於向量空間中的向量。當涉及到向量與矩陣的乘法時，我們通常指的是矩陣-向量乘法。

矩陣-向量乘法可以這樣定義：

• 向量v是一個列向量（即一個數組作為矩陣的一列），矩陣A是一個數字排列成的矩陣。
• 乘法運算結果是一個向量，這個向量是由矩陣A的列與向量v的內積組成的。

在代數上，如果向量v是n維的，矩陣A是m×n的（即有m行n列），那麼向量v與矩陣A的乘積是一個m維的向量，其元素可以這樣計算：

[ (Av)i = \sum{j=1}^n a_{ij} v_j ]

這裡，(a_{ij})是矩陣A的第i行第j列的元素，(v_j)是向量v的第j個元素。

矩陣-向量乘法在許多領域都有應用，包括物理學、工程學、計算機圖形學、機器學習和數據分析。它可以用來解決線性系統、進行轉換、計算內積和外積，以及執行其他數學操作。

需要注意的是，向量與矩陣的乘法並不是交換的，即 (Av \neq vA) 通常成立。此外，只有當向量的維度與矩陣的列數相匹配時，矩陣-向量乘法才會有意義。如果向量的維度與矩陣的行數相匹配，則可以進行轉置矩陣與向量的乘法，即 (A^Tv)。