泛函是什麼意思

在數學中，特別是在分析學的領域，泛函（Functional）是一個從一個集合（通常是向量空間）到數字（通常是實數或複數）的映射。簡單來說，泛函就是一個作用在函數上的函數。

在物理學和工程學中，泛函用來描述某些物理量，例如勢能或能斯特函數，這些函數不僅取決於一個實數變量（例如位置），還取決於一個函數（例如物體的運動軌跡）。

泛函可以分為線性和非線性。線性泛函是指滿足線性關係的泛函，即對於任何兩個函數 f 和 g，以及任何實數 α 和 β，有

• 泛函的性質：F(f + g) = F(f) + F(g)
• 線性泛函的性質：αF(f) + βF(g) = αF(f) + βF(g)

非線性泛函則不滿足這種線性關係。

在數學分析中，泛函分析是一個研究Banach空間（一個包含無限維向量的完備向量空間）和連續映射（稱為運算元或算符）的分支。這些運算元可以是線性的，也可以是非線性的。泛函分析中的泛函通常是指作用在Banach空間上的泛函。