正交向量意思

在數學中，尤其是線性代數中，兩個向量被稱為「正交」的，當它們之間的夾角是直角時，也就是說，它們的點積（內積）為零。在歐幾里得空間中，正交向量通常是指相互垂直的向量。

更形式化地，考慮兩個非零向量 \mathbf{u} 和 \mathbf{v}，它們是正交的，若且唯若 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0，其中 \cdot 表示點積。在三維歐幾里得空間 \mathbb{R}^3 中，一個向量 \mathbf{v} 與另一個向量 \mathbf{w} 正交，若且唯若 \mathbf{v} 的坐標分量滿足以下條件：

[ v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z = 0 ]

在更一般的情況下，如果向量組 {\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n} 的所有向量都是正交的，那麼這個向量組被稱為「標準正交」（或「規範正交」）。在歐幾里得空間中，這樣的向量組可以通過使用笛卡爾坐標系來構造。

在物理學中，正交向量通常用於描述不同方向的物理量，例如在描述力的時候，通常會使用正交坐標系來表示不同方向上的分力。在工程和計算機圖形學中，正交向量也經常用於構建坐標系和進行幾何變換。