正交化是什麼意思

在數學中，特別是在線性代數中，正交化是一個過程，通過這個過程，一組向量被轉換為正交向量組。正交向量是指它們的內積為零，即 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0)，其中 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 是任何兩個不同的向量。

正交化的應用之一是將一組線性無關的向量轉換為標準正交基（簡稱SOB）。標準正交基是由相互正交的單位向量組成的，這些向量佔據了整個空間。在歐幾里得空間中，標準正交基通常由相互垂直的向量組成，這些向量具有單一長度。

正交化的方法有多種，其中一種常見的方法是Gram-Schmidt正交化過程。這個過程可以將任意給定的基轉換為標準正交基。

在信號處理、數據分析和機器學習中，正交化也有著廣泛的應用。例如，在 Principal Component Analysis（PCA）主成分分析中，正交化用於提取數據集的主要特徵向量，這些向量正交且解釋了數據的大部分變異。

總之，正交化是將向量或基轉換為正交形式的一種數學操作，它在許多數學和實踐領域都有著重要的作用。