歐拉公式是什麼意思

歐拉公式（Euler's formula）是複數論中的一個基本公式，它連結了複數的基本元素：實數、虛數、模和幅角。歐拉公式以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的名字命名，他的工作對數學的許多領域都有重大貢獻。

歐拉公式寫作：

$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$

其中，$e$ 是自然對數的底（約等於 2.71828），$i$ 是虛數單位（定義為 $i = \sqrt{-1}$），$\theta$ 是複數的幅角，而 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 分別是角 $\theta$ 的餘弦和正弦。

這個公式的意義在於它提供了一種將複數以代數形式表示的方法，而不需要使用三角函數。反之，它也表明了複數可以通過對數函數和指數函數來定義和操作。

歐拉公式在許多數學領域都有應用，包括複分析、電磁學、量子力學和工程學等。它也是歐拉數學中許多重要結果的基礎，例如歐拉恆等式：

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

這個恆等式將自然對數的底 $e$、虛數單位 $i$、圓周率 $\pi$ 和數字 1 聯繫在一起，是數學中一個著名的結果。