模形式是什麼意思

模形式（Modular Form）是數論中的一個重要概念，它們是在整數模某個正整數的等價類下保持不變的複數函數。這些函數滿足特定的解析性質，並且在數論中扮演著重要的角色，尤其是在研究橢圓曲線和模函數時。

模形式的概念是由德國數學家赫爾曼·馮·馮·埃森（Hermann Weyl）在1929年提出的，但它的根源可以追溯到19世紀末期對橢圓函數的研究。模形式在數論、代數幾何、表示論和理論物理中都有著廣泛的應用。

模形式的定義通常涉及兩個條件：

1. 模性（Modularity）：模形式在模群的作用下不變，這裡的模群是指所有將正整數除以一個固定的正整數m的等價關係所形成的群。

2. 漸近性（Riemann-Roch 性質）：模形式在無窮遠點的行為是可預測的，並且它們在整個複平面上的解析性質是良好的。

模形式的例子包括了狄利克雷（Dirichlet）級數、橢圓函數和模函數等。其中，模函數在模形式的研究中尤為重要，它們可以用來構造許多其他的模形式。

模形式的研究是一個龐大的領域，它涉及到複分析、數論、代數幾何和表示論等多個數學分支。在20世紀末，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）對費馬大定理的證明就涉及到模形式理論和伽羅瓦表示論的深遠結果。