有界是什麼意思

在數學中，有界（bounded）這個詞語通常用來描述一個數集或者函數的性質。當一個數集在某一範圍內是有界的，這意味著存在兩個數字，一個是上界（upper bound），另一個是下界（lower bound），它們分別用來限制這個數集中的數字的大小。

具體來說：

1. 上界：如果一個數集中的所有數字都小於或等於某個數字M，那麼M就是這個數集的上界。換句話說，數集是有界的，且上界為M。

2. 下界：如果一個數集中的所有數字都大於或等於某個數字m，那麼m就是這個數集的下界。換句話說，數集是有界的，且下界為m。

例如，考慮數集 {1, 2, 3, 4}，這個數集是有界的，因為它有上界5（所有的數字都小於或等於5），也有下界1（所有的數字都大於或等於1）。

在函數的情況下，如果一個函數在給定的區間上是有界的，這意味著函數值在這個區間上總是介於兩個數字之間，而不論自變量的值是多少。例如，函數 f(x) = x^2 在區間 [-1, 1] 上是有界的，因為對於這個區間上的任何 x，f(x) 總是介於 0 和 1 之間。