導數是什麼意思

導數（Derivative）是微積分中的一個基本概念，用來描述函數如何隨著自變量的變化而變化。簡單來說，導數可以理解為函數輸出值對於自變量變化的變化率。

例如，考慮一個簡單的函數 y = x^2，當我們想知道當 x = 2 時，函數的變化率，我們可以計算導數。在這個例子中，導數就是當 x 增加一個小量 Δx 時，函數值 y 的變化量 Δy 與 Δx 的比值。

根據導數的定義，對於函數 y = x^2，當 x = 2 時，導數就是：

dy/dx = (Δy) / (Δx)

因為 y = x^2，所以當 x 增加 Δx 時，y 增加 Δy = (2 + Δx)^2 - 2^2 = 4Δx + 4Δx^2。

所以，當 x = 2 時，dy/dx = (4Δx + 4Δx^2) / Δx = 4 + 4Δx。

當 Δx 趨近於 0 時，dy/dx = 4，這就是 y = x^2 在 x = 2 處的導數。這個數值表示當 x = 2 時，函數值 y 隨著 x 的變化率是每變化 1 個單位，y 變化 4 個單位。

導數可以用來解決許多實際問題，例如在物理學中，導數可以用來描述物體的速度和加速度；在經濟學中，導數可以用來分析成本、收益和生產函數；在工程學中，導數可以用來優化設計和控制系統。