奇異值意思

在數學中，特別是在線性代數和統計學中，奇異值（Singular Value）是一個概念，它涉及到矩陣的分解。一個矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一種將矩陣表示為三個特殊矩陣乘積的方法。

在SVD中，一個m × n的矩陣A可以分解為三個矩陣的乘積：

A = UΣV^T

其中：

• U是一個m × m的閏陣，它的列向量是正交的。
• Σ是一個m × n的矩陣，它的對角線上包含非負的奇異值σ，而其他元素都是零。對角線上的奇異值按照非減排列，即σ_1 ≥ σ_2 ≥ ... ≥ σ_k > 0，其中k是奇異值的個數，也是A的 rank。
• V是一個n × n的閏陣，它的列向量是正交的。

奇異值σ的大小反映了矩陣A的列向量（或行向量）的長度，以及它們的線性獨立性。如果σ_i = 0，那麼表示相應的列向量（或行向量）是線性相關的。如果所有的奇異值都不為零，那麼A是一個滿秩矩陣，否則A是一個降秩矩陣。

在實際應用中，SVD有許多用途，例如在數據壓縮、圖像處理、信號處理、機器學習和數值分析中。奇異值分解也可以用來解決線性方程組、最小二乘問題和特徵值問題。