向量垂直是什麼意思
在數學中，特別是向量空間中，兩個向量「垂直」或「正交」意味著它們之間的夾角是直角（90度）。在幾何學中，這通常意味著一個向量在另一個向量的方向上投射為零，即它們的點積（內積）為零。
在三維空間中，如果向量a和向量b是正交的，那麼它們的夾角θ滿足：
θ = 90°
這可以通過點積公式來驗證：
a · b = ||a|| ||b|| cos(θ)
由於θ = 90°，所以cos(θ) = 0，因此點積為零：
a · b = ||a|| ||b|| * 0 = 0
在更一般的向量空間中，垂直或正交的概念可以通過定義點積或內積的性質來推廣。如果向量空間上定義的內積滿足以下條件：
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線性性：對任意向量a, b和任意實數λ，有 (λa) · b = λ(a · b) a · (λb) = λ(a · b)
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對稱性：對任意向量a, b，有 a · b = b · a
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正定性：對任意非零向量a，有 a · a > 0
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範數等價性：對任意向量a, b，有 ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||
那麼，兩個向量a和b正交若且唯若a · b = 0。
在物理學中，向量垂直的概念同樣重要，例如在力學中，力的合成和分解涉及到向量的平行四邊形法則和三角形法則，而力的分解通常是將一個力分解為兩個相互垂直的分力。