可逆矩陣意思

在數學中，特別是在線性代數中，可逆矩陣（invertible matrix）或稱非奇異矩陣（non-singular matrix）是指那些具有逆矩陣的矩陣。換句話說，如果一個矩陣 A 存在一個矩陣 B 使得乘積 AB = I （其中 I 是單位矩陣），那麼 A 是一個可逆矩陣，而 B 是 A 的逆矩陣。這裡的 I 通常是與 A 同維度的單位矩陣。

可逆矩陣的一些重要特性包括：

  1. 可逆性：一個矩陣可逆當且僅當它不是奇異的（singular），即不是滿足 nul A ≠ {0} 或 rank A ≠ n 的矩陣，其中 nul A 是 A 的零空間，rank A 是 A 的秩，n 是 A 的維度。

  2. 唯一性：每個可逆矩陣都有唯一一個逆矩陣。

  3. 乘法性：可逆矩陣的乘積仍然是可逆的，並且 (AB)^-1 = B^-1 A^-1。

  4. 逆運算：如果 A 是可逆的，那麼 (A^-1)^-1 = A。

  5. 線性映射：一個線性映射是單射（injective）當且僅當它對應的矩陣是可逆的。

  6. 解的存在性：一個線性方程組 Ax = b 有解當且僅當 b 在 A 的列空間中，這等價於 A 是可逆的。

在實際應用中，可逆矩陣的概念非常重要，因為它們可以用來解線性方程組、進行映射的逆運算，以及進行各種數學操作。在計算可逆矩陣的逆時，可以使用高斯-約旦法或通過計算矩陣的行列式並用它來除以相應的元素。