卡方分配意思
卡方分布（Chi-square distribution）是一種常見的連續型隨機變數的機率分布，通常用來檢驗兩個分類變數是否獨立，或者用來檢驗某個理論頻數分布與實際頻數分布是否一致。卡方分布可以用來檢驗以下幾種情況：
- 擬合優度檢驗（Goodness of fit test）：用於檢驗一個樣本是否符合某個理論分布。
- 獨立性檢驗（Test of independence）：用於檢驗兩個分類變數是否獨立。
- homogeneity檢驗：用於檢驗多個樣本的頻率是否相同。
卡方分布的定義如下：
設ξ1, ξ2, ..., ξn是獨立的隨機變數，它們都服從標準常態分配N(0,1)。卡方分布是這些隨機變數的平方和Σξi^2的分布。卡方分布的機率密度函式為：
f(x) = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}, \quad x > 0
其中n是自由度（degrees of freedom），它是卡方分布的一個重要參數，決定了分布的形狀。自由度通常是卡方分布中獨立變數的個數。
卡方分布的期望（均值）為E(X) = n，方差為Var(X) = 2n。卡方分布的形狀隨著自由度的變化而變化，當自由度n較大時，卡方分布接近於常態分配。
在實際套用中，卡方分布通常用於統計推斷和假設檢驗，特別是在分析分類數據時非常有用。例如，在醫學研究中，研究者可能會使用卡方分布來檢驗不同治療方法的有效性；在市場調查中，研究者可能會使用卡方分布來檢驗不同地區消費者偏好的差異。