全微分的意思

在數學中，特別是微積分中，全微分（total differential）是一個函式在某個點的小變化量的線性近似。更準確地說，如果函式 ( f ) 由變數 ( x_1, x_2, \ldots, x_n ) 確定，那麼全微分 ( df ) 是 ( f ) 在這些變數上所有偏導數的線性組合，形式上可以寫成：

[ df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n ]

這裡的 ( dx_1, dx_2, \ldots, dx_n ) 是變數的微小變化，而 ( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} ) 分別是 ( f ) 對這些變數的偏導數。

全微分在研究多變數的函式行為時非常有用，特別是在確定函式的局部線性行為和分析函式的極值時。在某些情況下，全微分還可以用來表示函式的變化，而不考慮這些變化是如何產生的（即不考慮每個變數的獨立貢獻）。