全微分意思

在數學中，特別是微積分中，全微分（total differential）是一個函式在某個點的所有偏導數（partial derivatives）的代數組合。全微分描述了函式值的變化如何由自變數的變化所引起。

更具體地，如果函式 ( f ) 擁有在點 ( x ) 的所有偏導數，那麼全微分 ( df ) 可以表示為這些偏導數的乘積與相應的自變數變化量的和：

[ df = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i ]

這裡，( n ) 是自變數的個數，( x_i ) 是第 ( i ) 個自變數，( \frac{\partial f}{\partial x_i} ) 是函式 ( f ) 相對於 ( x_i ) 的偏導數，( dx_i ) 是 ( x_i ) 的微小變化量。

全微分在多變數函式的泰勒展開中起著重要作用，並且是鏈式法則（chain rule）在多變數函式中的自然推廣。在某些情況下，比如在流體動力學中，全微分還可以用來描述流體中某一點上不同物理量的變化。