內積是什麼意思
內積（inner product），又稱為點積、拮抗積或標量積，是線性代數中的一個概念，用於描述兩個向量的關係。在歐幾里得空間中，兩個向量的內積是一個數值，它表示這些向量在特定的方向上是如何對齊的。
在實數域上，兩個向量 (\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)) 和 (\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)) 的內積 (\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle) 定義為 [ \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n. ]
內積具有以下幾個性質：
- 對偶性（Duality）：(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \langle \mathbf{b}, \mathbf{a} \rangle)。
- 線性性（Linearity）：(\langle \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle = \alpha \langle \mathbf{a}, \mathbf{c} \rangle + \beta \langle \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle) 和 (\langle \mathbf{a}, \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} \rangle = \alpha \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle + \beta \langle \mathbf{a}, \mathbf{c} \rangle)，其中 (\alpha) 和 (\beta) 是任意實數。
- 正定性（Positivity）：(\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle \geq 0)，且當且僅當 (\mathbf{a} = \mathbf{0}) 時等號成立。
內積可以用來計算向量的長度（使用 (|\mathbf{a}| = \sqrt{\langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle})），以及向量之間的角度（使用 (\cos(\theta) = \frac{\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|})）。
在複數域上，內積的定義略有不同，它還包括了複數的共軛： [ \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \sum_{i=1}^n a_i \overline{b_i}, ] 其中 (\overline{b_i}) 是 (b_i) 的共軛複數。
內積的概念不僅限於歐幾里得空間，它還可以定義在更廣泛的內積空間中，這些空間包括 Hilbert 空間和泛函分析中的其他對象。