內積意思
內積（inner product），又稱為點積（dot product）或標量積（scalar product），是線性代數中的一個概念，用於描述兩個向量的關係。在歐幾里得空間中，兩個向量的內積定義為它們長度的乘積，並乘以它們夾角的餘弦值。在實數域上，內積可以表示為兩個向量的數學積，並乘以一個標量。公式表達如下：
[ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left\vert \mathbf{u} \right\vert \left\vert \mathbf{v} \right\vert \cos \theta ]
其中，(\mathbf{u}) 和 (\mathbf{v}) 是兩個向量，(\left\vert \mathbf{u} \right\vert) 和 (\left\vert \mathbf{v} \right\vert) 分別是它們的長度，(\theta) 是它們的夾角，(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle) 是它們的內積。
內積具有以下幾個重要的性質：
- 對稱性：(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle)。
- 線性：(\langle \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \beta \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle)，其中(\alpha) 和 (\beta) 是任意實數。
- 正定性：(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0)，且當且僅當(\mathbf{u} = \mathbf{0})時等號成立。
- 三角不等式：(\left\vert \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right\vert \leq \left\vert \mathbf{u} \right\vert \left\vert \mathbf{v} \right\vert)。
內積在數學和物理學中都有著廣泛的應用，例如在機器學習、信號處理、量子力學等領域中，內積都是一個非常重要的概念。