克拉瑪公式是什麼意思

克拉瑪公式（Cramér's rule）是一種用來解線性方程組的方法。它可以用來找到一個方程組的解，其中方程組的個數等於未知數的個數，而且這些方程都是線性的。

假設我們有一個線性方程組：

[ \begin{cases} a_{11}x1 + a{12}x2 + \cdots + a{1n}x_n = b1 \ a{21}x1 + a{22}x2 + \cdots + a{2n}x_n = b2 \ \vdots \ a{m1}x1 + a{m2}x2 + \cdots + a{mn}x_n = b_m \ \end{cases} ]

其中，( a_{ij} ) 是係數，( x_i ) 是未知數，( b_j ) 是常數項。這個方程組有 ( n ) 個未知數和 ( m ) 個方程。

克拉瑪公式給出了這個方程組的解的一個表達式：

[ xi = \frac{M{i1}b1 + M{i2}b2 + \cdots + M{im}bm}{D{i1}D{11} + D{i2}D{22} + \cdots + D{im}D_{mm}} ]

這裡，( M{ij} ) 是矩陣 ( A ) 的元素，其中 ( A{ij} ) 是 ( (i, j) ) 的元素，而 ( D_{ij} ) 是行列式 ( \det(M) ) 的元素，其中 ( M ) 是矩陣 ( A ) 的子矩陣，由去掉第 ( i ) 行和第 ( j ) 列得到。

克拉瑪公式只有在方程組有唯一解時才適用。如果方程組有無數個解，或者沒有解，克拉瑪公式就沒有意義了。

例如，考慮以下方程組：

[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \ 4x + 6y = 10 \ \end{cases} ]

這個方程組可以寫成矩陣形式：

[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & 6 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 \ 10 \ \end{bmatrix} ]

使用克拉瑪公式，我們可以找到 ( x ) 和 ( y ) 的解：

[ x = \frac{M_{11}b1 + M{12}b2}{D{11}D{11} + D{12}D_{22}} = \frac{3 \times 5 + 4 \times 10}{2 \times 2 + 3 \times 3} = \frac{15 + 40}{4 + 9} = \frac{55}{13} ]

[ y = \frac{M_{21}b1 + M{22}b2}{D{21}D{11} + D{22}D_{22}} = \frac{6 \times 5 + 2 \times 10}{3 \times 2 + 6 \times 3} = \frac{30 + 20}{6 + 18} = \frac{50}{24} ]

所以，這個方程組的解是 ( x = \frac{55}{13} ) 和 ( y = \frac{50}{24} )。