二次型正定是什麼意思

在數學中，特別是線性代數和泛函分析中，二次型（quadratic form）是一個函式，它將一個向量變數的內積與一個標量係數相結合。二次型通常表示為向量x的轉置與一個對稱矩陣A（稱為二次型的矩陣）與向量x的內積。如果係數矩陣A是正定的，那麼二次型被稱為正定的。

更正式地，給定一個實數域或複數域上的n維向量空間V，一個二次型是一個函式：

Q(x) = x^T A x

其中x是V中的一個向量，x^T是x的轉置，A是V到其自身的線性映射，並且A是正定的。

二次型正定的意思是，對於向量空間V中的所有非零向量x，二次型Q(x)的值都是正數。在幾何上，這通常意味著二次型對應一個凸集，例如一個橢球面。

二次型正定的重要性在於它與許多數學分支有關，包括幾何、物理和工程學。在物理學中，例如，一個粒子的動能可以表示為一個正定的二次型，其中每個分量對應於粒子的每個自由度。在工程學中，正定的二次型可以用在最佳化問題和控制理論中。