二次剩余是什麼意思

在數論中，二次剩餘（Quadratic Residue）是指一個數論中的概念，它涉及到整數在模一個正整數的二次同餘方程是否有解。

具體來說，給定一個正整數 ( n ) 和一個整數 ( a )，我們說 ( a ) 對於模 ( n ) 來說是二次剩餘（Quadratic Residue），當且僅當存在一個整數 ( x ) 滿足以下方程：

[ x^2 \equiv a \pmod{n} ]

換句話說，( a ) 是模 ( n ) 的二次剩餘，當且僅當 ( a ) 可以表示為一個整數 ( x ) 的平方，並且這個平方是在模 ( n ) 的意義下進行的。

例如，考慮 ( n = 7 )，我們可以檢查哪些整數 ( a ) 滿足 ( x^2 \equiv a \pmod{7} )。我們可以找到 ( x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) 的值，並將它們的平方除以 ( 7 ) 來檢查同餘關係。我們會發現 ( 0, 1, 2, 4 ) 是模 ( 7 ) 的二次剩餘，因為它們的平方除以 ( 7 ) 都餘 0。然而，( 3, 5, 6 ) 不是模 ( 7 ) 的二次剩餘，因為它們的平方除以 ( 7 ) 餘 1。

在數論中，二次剩餘是一個重要的概念，它與許多數學分支有關，包括代數幾何、代數數論和組合數學。二次剩餘的性質可以用來設計加密系統，如費爾馬數字系統（Fermat's Little Theorem）和歐拉數字系統（Euler's Totient Theorem）。