一階導數是什麼意思

一階導數（first derivative），又稱為導數或微分，是微積分中一個重要的概念，用來描述函數如何隨自變量的變化而變化。具體來說，一階導數是函數的變化率，即自變量每改變一個單位，函數值改變多少。

一階導數的計算公式可以用以下幾種方式來表示：

1. 函數增量與自變量增量的比值，當自變量增量趨近於零時： [f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}] 其中，(f'(x)) 是函數 (f(x)) 在點 (x) 的一階導數，(\Delta y) 是函數值的變化量，即 (f(x+\Delta x) - f(x))，(\Delta x) 是自變量的變化量。

2. 通過函數的斜率來定義： [f'(x) = \frac{dy}{dx}] 這表示函數 (y = f(x)) 在點 (x) 處的斜率就是一階導數。

3. 通過變量代換來計算： [f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}] 這是一個常見的計算導數的方法，其中 (h) 是一個任意的小量，這個公式通過將 (h) 趨向於零來計算導數。

一階導數的應用非常廣泛，包括但不限於：

• 描述函數的變化率，如速度、加速度等物理量。
• 確定函數的極值點，即最大值或最小值。
• 解決 optimisation 問題，如尋找成本最小化或利潤最大化的條件。
• 描述函數的形狀，如凹凸性。

在數學中，一階導數的概念是進一步研究高階導數、偏導數、全微分等概念的基礎。